[反常积分]一个定理的问题

闭区间内，函数积分发散无界，则积分后的函数在闭区间内肯定有瑕点。否则相反。

当p=1时，∫dx/x^p=lnx在[0,a]有瑕点0，当x=0时，值为无穷大。所以发散。
当p不为1时
∫dx/x^p=x^(-p+1)/(1-p)
当p>1时，x^(-p+1)在[0,a]有瑕点0，当x=0时，值为无穷大。所以发散。
当p<1时x^(-p+1)则没有瑕点。所以收敛。

第2题同理。瑕点为x=a

问题补充：根据莱布里姿公式，当p<1时，0<x^(-p+1)<1, -1<x^(-p+1)/(1-p)<0 [0,a],x=0,原式=无穷，所以f(a)-f(0)=无穷，发散才对啊？

∫dx/x^p=x^(-p+1)/(1-p)=g(x)
当p<1时，积分函数g(x)的x的指数0<1-p<1，x=0时，g(0)=0，怎么会等于无穷？？
当p>1时，积分函数g(x)的x的指数1-p<0，x=0时，g(0)才是无穷。
如g(x)=x^1/2；g(0)=0
g(x)=x^(-1/2)；g(0)=1/0为无穷。
这是幂函数的基本性质。

具体过程忘了，你可以去看一下 高等数学 级数那一章，就有这个的证明
p＞1时，因为n－1≤x≤n时，1/n^p≤1/x^p，所以

1/n^p＝∫(n-1→n) 1/n^p dx≤∫(n-1→n) 1/x^p dx

Sn＝1＋1/2^p＋……＋1/n^p≤1＋∫(1→n) 1/x^p dx＝1＋1/(p-1)×[1－1/n^(p-1)]＜1＋1/(p-1)

所以，部分和数列{Sn}单调有界，从而收敛，所以p级数收敛